Binomio al cuadrado: fórmula, ejemplos y ejercicios resueltos

El binomio al cuadrado es el producto notable más usado del álgebra. Su fórmula es:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Y para la resta:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

En palabras: el cuadrado del primero, más (o menos) el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ese "más el cuadrado del segundo" es siempre positivo, incluso en la resta, y es el detalle donde se equivoca la mayoría.

Por qué funciona la fórmula

No es magia ni hay que memorizarla a ciegas. Un cuadrado es multiplicar algo por sí mismo:

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Aplicando la propiedad distributiva, cada término del primer paréntesis multiplica a cada término del segundo:

= a·a + a·b + b·a + b·b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²

Los dos términos del medio son iguales, por eso se suman y aparece el 2. Si algún día olvidas la fórmula en un examen, puedes reconstruirla en treinta segundos multiplicando los paréntesis.

La interpretación geométrica

Hay una forma visual que ayuda a que no se olvide. Imagina un cuadrado cuyo lado mide (a + b). Su área total es (a + b)².

Ese cuadrado se puede dividir en cuatro partes: un cuadrado de lado a (área a²), un cuadrado de lado b (área b²) y dos rectángulos iguales de lados a y b (área ab cada uno).

Sumando: a² + 2ab + b². La fórmula no es un truco: es la descomposición de un área.

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1: (x + 5)²

Cuadrado del primero: x²
Doble del primero por el segundo: 2·x·5 = 10x
Cuadrado del segundo: 5² = 25

Resultado: x² + 10x + 25

Ejemplo 2: (3x − 4)²

Cuadrado del primero: (3x)² = 9x² (se eleva todo, coeficiente incluido)
Doble del primero por el segundo: 2·(3x)·4 = 24x, con signo negativo
Cuadrado del segundo: (−4)² = 16 (positivo, porque menos por menos da más)

Resultado: 9x² − 24x + 16

Ejemplo 3: (2a + 3b)²

(2a)² = 4a²
2·(2a)·(3b) = 12ab
(3b)² = 9b²

Resultado: 4a² + 12ab + 9b²

Ejemplo 4: (x² − 5)²

(x²)² = x⁴ (al elevar una potencia, los exponentes se multiplican)
2·(x²)·5 = 10x², con signo negativo
5² = 25

Resultado: x⁴ − 10x² + 25

Los cuatro errores que más se repiten

1. Olvidar el término del medio

Escribir (a + b)² = a² + b². Es el error más frecuente de todos y está mal.

Compruébalo con números: (3 + 4)² = 7² = 49. Pero 3² + 4² = 9 + 16 = 25. No son iguales. Faltan los 24 del término 2ab.

Truco: siempre que dudes de una identidad algebraica, sustituye letras por números pequeños y comprueba.

2. Poner negativo el último término

En (a − b)², el último término es +b², no −b². Porque (−b)² = (−b)·(−b) = +b².

En la resta, el único signo negativo está en el término del medio.

3. No elevar el coeficiente

En (3x)², se eleva todo: 3² · x² = 9x². No es 3x².

4. Confundirlo con la suma por diferencia

Son productos notables distintos:

(a + b)² = a² + 2ab + b² → tres términos
(a + b)(a − b) = a² − b² → dos términos, sin término medio

El camino inverso: factorizar

Es igual de importante y se pregunta mucho. Si reconoces un trinomio cuadrado perfecto, puedes convertirlo en un binomio al cuadrado.

Cómo reconocerlo: el primer y el último término deben ser cuadrados perfectos, y el término del medio debe ser el doble del producto de sus raíces.

Ejemplo: x² + 12x + 36

√(x²) = x
√36 = 6
Comprobación: 2·x·6 = 12x ✓ coincide con el término del medio

Resultado: (x + 6)²

Si la comprobación no coincide, no es un trinomio cuadrado perfecto y hay que factorizarlo de otra manera.

Ejercicios propuestos

Desarrolla:

(x + 7)²
(2y − 5)²
(4a + 3)²
(x³ − 2)²
(5m + 2n)²

Factoriza:

x² + 14x + 49
9x² − 30x + 25
4a² + 20ab + 25b²

Soluciones

x² + 14x + 49
4y² − 20y + 25
16a² + 24a + 9
x⁶ − 4x³ + 4
25m² + 20mn + 4n²
(x + 7)²
(3x − 5)²
(2a + 5b)²

Para qué sirve fuera del examen

Aparece continuamente en los cursos siguientes:

Completar el cuadrado, la técnica con la que se deduce la fórmula de la ecuación de segundo grado.
Ecuación de la circunferencia, que se escribe como (x − h)² + (y − k)² = r².
Simplificar fracciones algebraicas, factorizando numerador y denominador para cancelar.
Cálculo mental: 41² = (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Más rápido que multiplicar a mano.

Preguntas frecuentes

¿(a + b)² es igual que a² + b²?
No. Falta el término 2ab. Es el error más común del álgebra elemental.

¿Por qué el último término siempre es positivo?
Porque cualquier número al cuadrado es positivo: (−b)² = +b².

¿Y si el binomio está elevado al cubo?
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Es otro producto notable, con cuatro términos.

¿Existe fórmula para un trinomio al cuadrado?
Sí: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Los cuadrados de cada término más el doble de cada pareja.

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