Dominio y rango de una función: cómo calcularlos con ejemplos
En este artículo
El dominio de una función son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). El rango —también llamado recorrido o imagen— son todos los valores que resultan (la y).
Dicho de forma práctica: el dominio es lo que puedes meter en la función, y el rango lo que sale.
La analogía de la máquina
Piensa en una función como una máquina expendedora. El dominio son las monedas que acepta: si solo admite monedas de un euro, no sirve meterle billetes. El rango son los productos que puede entregar: si solo tiene refrescos, nunca saldrá un bocadillo por mucho que insistas.
Todo el cálculo del dominio consiste en responder una pregunta: ¿qué valores harían que la operación fuera imposible?
Las tres restricciones que hay que buscar
En matemática elemental, solo tres cosas rompen una función:
1. División entre cero
Si hay un denominador con x, iguala ese denominador a cero: esos valores quedan fuera del dominio.
f(x) = 1 / (x - 3)
x - 3 = 0 → x = 3
Dominio: todos los reales excepto 3
En notación de intervalos: (-∞, 3) ∪ (3, +∞)2. Raíz de índice par de un número negativo
Lo que va dentro de una raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero.
f(x) = √(x - 5)
x - 5 ≥ 0 → x ≥ 5
Dominio: [5, +∞)Las raíces de índice impar (cúbica, quinta) no tienen esta restricción: la raíz cúbica de −8 es −2, sin problema.
3. Logaritmo de cero o de un número negativo
El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente mayor que cero.
f(x) = log(x + 2)
x + 2 > 0 → x > -2
Dominio: (-2, +∞)Fíjate en el detalle: aquí es mayor estricto, no "mayor o igual", porque el logaritmo de cero tampoco existe. En la raíz sí se admite el cero.
Dominio según el tipo de función
| Tipo | Ejemplo | Dominio |
|---|---|---|
| Polinómica | f(x) = x² + 3x − 1 | Todos los reales |
| Racional | f(x) = (x+1)/(x−2) | Reales menos las raíces del denominador |
| Raíz par | f(x) = √(x−1) | Donde el radicando ≥ 0 |
| Raíz impar | f(x) = ∛x | Todos los reales |
| Logarítmica | f(x) = ln(x) | Donde el argumento > 0 |
| Exponencial | f(x) = 2ˣ | Todos los reales |
| Seno y coseno | f(x) = sen(x) | Todos los reales |
| Tangente | f(x) = tan(x) | Reales menos π/2 + kπ |
Las polinómicas siempre tienen dominio completo: sumar, restar y multiplicar nunca falla.
Cómo calcular el rango
El rango cuesta más porque no hay una regla mecánica. Tres caminos según el caso:
Por la gráfica
El más intuitivo. Mira hasta dónde llega la curva en el eje vertical.
Por el tipo de función
- Lineal (f(x) = mx + b, con m ≠ 0): rango completo.
- Cuadrática: depende del vértice. Si abre hacia arriba, desde el vértice hasta +∞; si abre hacia abajo, desde −∞ hasta el vértice.
- Exponencial (aˣ): siempre positiva, rango (0, +∞).
- Seno y coseno: siempre entre −1 y 1.
- Valor absoluto: nunca negativo.
Despejando x
Intercambias los papeles: despejas x en función de y y calculas para qué valores de y existe solución.
f(x) = (2x + 1) / (x - 3)
Despejamos x:
y(x - 3) = 2x + 1
yx - 3y = 2x + 1
x(y - 2) = 1 + 3y
x = (1 + 3y) / (y - 2)
Aquí y no puede valer 2 (anularía el denominador).
Rango: todos los reales excepto 2Notación
Hay dos formas de escribirlo y conviene manejar las dos:
| Intervalos | Conjuntos | Significa |
|---|---|---|
| [2, 5] | {x ∈ ℝ / 2 ≤ x ≤ 5} | Ambos extremos incluidos |
| (2, 5) | {x ∈ ℝ / 2 < x < 5} | Ambos excluidos |
| [2, 5) | {x ∈ ℝ / 2 ≤ x < 5} | Izquierda incluida |
| (−∞, 3) ∪ (3, ∞) | ℝ − {3} | Todos menos el 3 |
El infinito lleva siempre paréntesis, nunca corchete: no es un número que se pueda alcanzar.
Leerlos en una gráfica
Dominio: proyecta la curva sobre el eje horizontal. Si la sombra cubre todo el eje, el dominio son todos los reales. Si hay huecos o la curva empieza en un punto, ahí están las restricciones.
Rango: proyecta sobre el eje vertical y haz lo mismo.
Detalle de notación en gráficas: un punto relleno significa que ese valor está incluido; un punto hueco, que se excluye.
Ejercicios resueltos
1. f(x) = (x + 4) / (x² − 9)
El denominador se anula cuando x² = 9, es decir x = 3 y x = −3.
Dominio: ℝ − {−3, 3}
2. f(x) = √(4 − x)
4 − x ≥ 0 → x ≤ 4.
Dominio: (−∞, 4] · Rango: [0, +∞), porque una raíz nunca da negativo.
3. f(x) = x² − 4x + 7
Polinómica: dominio completo. El vértice está en x = 2, y f(2) = 3. Como abre hacia arriba:
Dominio: ℝ · Rango: [3, +∞)
4. f(x) = 1 / √(x − 2)
Aquí hay dos restricciones a la vez: la raíz exige x − 2 ≥ 0, y el denominador exige que no sea cero. Por tanto x − 2 > 0.
Dominio: (2, +∞)
5. f(x) = ln(x² − 1)
x² − 1 > 0 → x < −1 o x > 1.
Dominio: (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
Errores frecuentes
Buscar solo una restricción. Una función puede tener raíz y denominador a la vez, como el ejercicio 4. Hay que comprobar todas.
Confundir mayor con mayor o igual. En raíces se admite el cero; en logaritmos y denominadores, no.
Poner corchete al infinito. Siempre paréntesis.
Olvidar que el dominio puede venir dado por el enunciado. Si la función representa el número de personas, aunque matemáticamente admita decimales y negativos, el contexto restringe el dominio a enteros positivos.
Preguntas frecuentes
¿Rango, recorrido e imagen son lo mismo?
Sí, son sinónimos. Cambia según el país y el libro de texto.
¿El dominio puede ser vacío?
Sí, aunque es raro. Por ejemplo √(−x² − 1) no tiene ningún valor real válido.
¿Cómo sé si algo es función?
A cada valor de x le corresponde uno solo de y. En una gráfica se comprueba con la prueba de la recta vertical: si una vertical corta la curva en dos puntos, no es función.
¿Cambia si trabajamos con complejos?
Sí. Restricciones como la raíz de un negativo desaparecen al admitir números complejos.
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