Orden de las operaciones: la regla PEMDAS con ejemplos resueltos

Cuando una expresión tiene varias operaciones, no se resuelve de izquierda a derecha sin más: hay un orden establecido. Si no se respeta, el resultado cambia.

El orden es este:

1. Paréntesis y demás signos de agrupación
2. Exponentes y raíces
3. Multiplicación y división, de izquierda a derecha
4. Suma y resta, de izquierda a derecha

Se recuerda con la regla PEMDAS (Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Adición, Sustracción). En algunos países se enseña como BODMAS o PAPOMUDAS; el orden es exactamente el mismo.

El detalle que casi todos malinterpretan

PEMDAS parece decir que la multiplicación va antes que la división, y que la suma va antes que la resta. No es así.

Multiplicación y división están en el mismo nivel: se resuelven de izquierda a derecha, en el orden en que aparezcan. Lo mismo ocurre con suma y resta.

12 ÷ 3 × 2

Mal:  12 ÷ (3 × 2) = 12 ÷ 6 = 2
Bien: (12 ÷ 3) × 2 = 4 × 2 = 8

La división aparece primero, así que se hace primero. Este malentendido es el origen de la mitad de los ejercicios virales que circulan por redes.

10 - 4 + 3

Mal:  10 - (4 + 3) = 3
Bien: (10 - 4) + 3 = 9

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1

5 + 3 × 2² - 4

1. Exponente:        5 + 3 × 4 - 4
2. Multiplicación:   5 + 12 - 4
3. Suma y resta:     17 - 4 = 13

Ejemplo 2

(8 - 3) × 2 + 6 ÷ 3

1. Paréntesis:       5 × 2 + 6 ÷ 3
2. Mult. y div.:     10 + 2
3. Suma:             12

Ejemplo 3: paréntesis anidados

2 × [3 + (10 - 4) ÷ 2]

1. Paréntesis interior:  2 × [3 + 6 ÷ 2]
2. División dentro:      2 × [3 + 3]
3. Corchete:             2 × 6
4. Multiplicación:       12

Con agrupaciones anidadas se empieza siempre por la más interna y se avanza hacia fuera.

Ejemplo 4: con fracción

(15 + 9) / (4 × 2)

La raya de fracción actúa como un paréntesis invisible sobre el numerador y el denominador: se resuelve cada uno por separado y luego se divide. Resultado: 24 / 8 = 3.

Los ejercicios virales, explicados

8 ÷ 2(2 + 2)

El más compartido de todos, y el más discutido. La respuesta según la convención estándar actual:

1. Paréntesis:      8 ÷ 2(4)
2. Izq. a derecha:  4 × 4 = 16

Mucha gente responde 1, porque interpreta que 2(4) es una unidad y hay que resolverla primero. Esa interpretación —llamada multiplicación implícita con prioridad— se usa en algunos textos científicos, pero no es la convención habitual en matemática escolar.

La conclusión honesta: la expresión está mal escrita. Un enunciado bien planteado no admite dos lecturas. Si quien la escribió quería 1, debió escribir 8 ÷ [2(2+2)]. Estos ejercicios se hacen virales precisamente por ser ambiguos.

6 ÷ 2 × 3

Izquierda a derecha: (6 ÷ 2) × 3 = 3 × 3 = 9

Las propiedades de las operaciones

Son distintas del orden, pero se preguntan siempre juntas.

Conmutativa

El orden de los factores no altera el resultado:

• Suma: a + b = b + a → 3 + 5 = 5 + 3
• Multiplicación: a × b = b × a → 4 × 7 = 7 × 4

No se cumple en la resta ni en la división: 10 − 4 ≠ 4 − 10.

Asociativa

La forma de agrupar no cambia el resultado:

• (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
• (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)

Tampoco se cumple en resta ni división.

Distributiva

La más útil de todas, porque permite transformar expresiones:

a × (b + c) = a×b + a×c

5 × (3 + 4) = 5×3 + 5×4 = 15 + 20 = 35

Sirve para el cálculo mental: 7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714.

Elemento neutro

• Suma: a + 0 = a
• Multiplicación: a × 1 = a

Elemento absorbente

a × 0 = 0. Siempre, sin excepciones.

Errores frecuentes

Ignorar el signo delante del paréntesis. Al quitar un paréntesis precedido de un menos, cambian todos los signos de dentro:

10 - (3 + 2) = 10 - 3 - 2 = 5
10 - (3 - 2) = 10 - 3 + 2 = 9

Confundir el signo de un número negativo con la resta. Con el exponente, (−3)² = 9 pero −3² = −9. En el segundo caso el exponente afecta solo al 3, no al signo.

Resolver de izquierda a derecha sin mirar. El error más básico, y el más caro en un examen.

Olvidar que la raya de fracción agrupa. Al escribirlo en una línea hay que poner paréntesis explícitos.

Cómo funciona en una calculadora

Las calculadoras científicas respetan la jerarquía: si escribes 2 + 3 × 4, devuelven 14. Las calculadoras básicas, en cambio, muchas veces operan según van recibiendo y devuelven 20.

Haz la prueba con la tuya antes de confiar en ella para un examen. Y en hojas de cálculo y lenguajes de programación, la jerarquía es la estándar: la multiplicación va antes que la suma.

Ejercicios propuestos

1. 7 + 2 × 5 − 3
2. (6 + 4) ÷ 2 + 3²
3. 20 ÷ 4 × 2 + 1
4. 3 × [8 − (2 + 3)]
5. −2² + (−2)²

Soluciones

1. 7 + 10 − 3 = 14
2. 10 ÷ 2 + 9 = 5 + 9 = 14
3. 5 × 2 + 1 = 11
4. 3 × [8 − 5] = 3 × 3 = 9
5. −4 + 4 = 0

Preguntas frecuentes

¿La multiplicación va antes que la división?
No. Están al mismo nivel y se resuelven de izquierda a derecha.

¿PEMDAS, BODMAS y PAPOMUDAS son distintos?
Son la misma regla con nombres distintos según el país.

¿Por qué existe este orden?
Es una convención acordada para que una misma expresión signifique lo mismo en todo el mundo. Sin ella, cada resultado sería discutible.

¿Y si hay varios paréntesis anidados?
Se resuelven de dentro hacia fuera.

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