Tablas de verdad: reglas, ejemplos resueltos y ejercicios

Una tabla de verdad es una tabla que muestra el resultado de una proposición lógica para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus componentes. Dicho en corto: sirve para saber cuándo una afirmación compuesta es verdadera y cuándo es falsa, sin dejar ningún caso fuera.

En este artículo tienes las reglas de cada operador, el método para construir cualquier tabla paso a paso, ejemplos resueltos y ejercicios con solución al final.

Los conceptos previos, en un minuto

Una proposición es una oración que puede ser verdadera o falsa, pero no las dos cosas. "Madrid es la capital de España" es una proposición. "¿Qué hora es?" no lo es, porque no se le puede asignar un valor de verdad.

A las proposiciones simples se les asigna una letra: p, q, r. Y cada una solo tiene dos valores posibles: V (verdadero) o F (falso). En informática verás lo mismo escrito como 1 y 0.

Una proposición compuesta combina proposiciones simples con operadores lógicos, y su valor de verdad depende del de sus partes. La tabla de verdad es justamente la herramienta que calcula ese resultado.

Cuántas filas tiene una tabla de verdad

Esta es la primera regla y la que más errores evita:

filas = 2ⁿ, donde n es el número de proposiciones simples distintas

• 1 proposición → 2 filas
• 2 proposiciones → 4 filas
• 3 proposiciones → 8 filas
• 4 proposiciones → 16 filas

Si te sale un número distinto, te faltan o te sobran combinaciones. Cuenta las proposiciones distintas: si p aparece tres veces, sigue contando como una.

Los cinco operadores y sus reglas

1. Negación (¬p) — "no p"

Invierte el valor. Es el único operador que actúa sobre una sola proposición.

Ejemplo: si p = "está lloviendo" es verdadera, entonces ¬p = "no está lloviendo" es falsa.

2. Conjunción (p ∧ q) — "p y q"

Regla: solo es verdadera cuando las dos lo son. Basta que una falle para que todo sea falso.

Cómo recordarlo: "Aprobé el examen y entregué el trabajo". Si solo hiciste una de las dos cosas, la frase completa es falsa.

3. Disyunción inclusiva (p ∨ q) — "p o q"

Regla: solo es falsa cuando las dos son falsas. Con que una se cumpla, ya es verdadera.

Ojo con esto: la disyunción lógica es inclusiva. "Puedes pagar con tarjeta o en efectivo" admite que hagas ambas cosas. En el lenguaje común solemos usar el "o" como si fuera excluyente, y ahí es donde la mayoría se equivoca.

4. Disyunción exclusiva (p ⊕ q) — "o p o q, pero no las dos"

Regla: verdadera cuando los valores son distintos.

Ejemplo: "O apruebas o repites". No pueden darse las dos a la vez. En programación es el operador XOR.

5. Condicional (p → q) — "si p, entonces q"

Es el que más cuesta, así que vale la pena detenerse. Regla: solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Las dos últimas filas desconciertan a todo el mundo: ¿cómo va a ser verdadera una implicación cuando la condición no se cumple?

Piénsalo como una promesa. "Si apruebas, te regalo una bicicleta". ¿Cuándo he mentido? Solo si apruebas (p verdadero) y no te doy la bicicleta (q falso). Si no apruebas, pase lo que pase yo no he roto mi promesa: no dije nada sobre ese caso. Por eso el condicional es verdadero siempre que el antecedente sea falso.

6. Bicondicional (p ↔ q) — "p si y solo si q"

Regla: verdadero cuando ambos valores coinciden. Es lo contrario exacto de la disyunción exclusiva.

Cómo construir una tabla paso a paso

Vamos a resolver (p ∧ q) → ¬p con el método completo.

Paso 1. Cuenta las proposiciones. Hay dos distintas: p y q. Entonces 2² = 4 filas.

Paso 2. Escribe las combinaciones de forma ordenada. El truco para no saltarte ninguna: en la primera columna pon la mitad de V y la mitad de F; en la segunda, alterna de dos en dos; en la tercera, de uno en uno. Con dos variables queda VV, VF, FV, FF.

Paso 3. Añade una columna por cada operación intermedia, respetando el orden de precedencia: primero lo que esté entre paréntesis, luego ¬, después ∧ y ∨, y al final → y ↔.

Paso 4. Resuelve columna por columna, nunca de un salto.

La última columna es el resultado. Como hay al menos un V y al menos un F, esta fórmula es una contingencia.

Tautología, contradicción y contingencia

Según cómo quede la columna final, la fórmula se clasifica así:

• Tautología: todos los valores son V. Es verdadera siempre, pase lo que pase. Ejemplo: p ∨ ¬p.
• Contradicción: todos son F. Nunca puede ser verdadera. Ejemplo: p ∧ ¬p.
• Contingencia: hay de los dos. Depende de los valores de entrada, que es el caso más común.

Ejemplo con tres proposiciones

Resolvemos (p ∨ q) ∧ ¬r. Tres variables, así que 2³ = 8 filas.

Fíjate en el patrón de las tres primeras columnas: p alterna de cuatro en cuatro, q de dos en dos, r de uno en uno. Ese orden garantiza que no falte ninguna combinación.

Las leyes que te ahorran trabajo

Antes de construir una tabla enorme, comprueba si puedes simplificar:

• Doble negación: ¬(¬p) ≡ p
• De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q  ·  ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• Condicional como disyunción: p → q ≡ ¬p ∨ q
• Contrarrecíproco: p → q ≡ ¬q → ¬p
• Distributiva: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

La equivalencia p → q ≡ ¬p ∨ q es especialmente útil: convierte un condicional, que es el operador más confuso, en una disyunción que se resuelve de un vistazo.

Para qué sirve esto fuera del examen

Las tablas de verdad no son un ejercicio abstracto: son la base de cómo funciona cualquier programa.

Cada vez que escribes un if con varias condiciones estás construyendo una proposición compuesta. En casi todos los lenguajes, && es la conjunción, || la disyunción y ! la negación.

if (usuario.activo && !usuario.bloqueado) {
    permitirAcceso();
}

Eso es exactamente p ∧ ¬q. Y las leyes de De Morgan se usan a diario para simplificar condiciones ilegibles: !(a && b) es lo mismo que !a || !b, pero la segunda forma suele entenderse mejor.

En electrónica digital pasa lo mismo: las puertas lógicas AND, OR y NOT que forman un procesador implementan literalmente estas tablas en circuitos.

Ejercicios para practicar

Resuélvelos antes de mirar las soluciones:

1. ¬(p ∧ q)
2. (p → q) ∧ (q → p)
3. p ∨ (q ∧ ¬p)
4. ¬p ∨ p

Soluciones

1. F, V, V, V. Contingencia. Coincide con ¬p ∨ ¬q, que es De Morgan.

2. V, F, F, V. Es exactamente la tabla del bicondicional: p ↔ q equivale a (p → q) ∧ (q → p).

3. V, V, V, F. Coincide con p ∨ q.

4. V, V. Tautología: es el principio del tercero excluido.

Errores más frecuentes

Tratar el "o" como excluyente. En lógica, p ∨ q es verdadera también cuando las dos lo son. Si quieres el exclusivo, necesitas ⊕.

Equivocarse con el condicional. Recuerda: solo es falso en la fila V → F. En las demás es verdadero, aunque suene raro.

Saltarse las columnas intermedias. Intentar resolver la fórmula completa de un vistazo es la causa número uno de errores en los exámenes.

Desordenar las combinaciones. Usa siempre el patrón de mitades: garantiza que no falte ni se repita ninguna fila.

Preguntas frecuentes

¿Cuántas filas tiene una tabla con 5 proposiciones?
2⁵ = 32 filas. A partir de cuatro variables conviene simplificar con las leyes antes de construirla.

¿Es lo mismo ∨ que ⊕?
No. ∨ es verdadera cuando al menos una lo es, incluidas ambas. ⊕ solo cuando exactamente una lo es.

¿Por qué F → V es verdadero?
Porque el condicional solo afirma qué pasa cuando el antecedente se cumple. Si no se cumple, no se ha incumplido nada.

¿Dónde se usan en programación?
En cada condición compuesta, en la evaluación perezosa de operadores y en la simplificación de condiciones con De Morgan.

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