Sistema binario: cómo convertir, operar y ejercicios resueltos
En este artículo
El sistema binario es un sistema de numeración que usa solo dos dígitos: 0 y 1. Es la base sobre la que funciona cualquier computadora, teléfono o dispositivo digital que hayas usado.
Aquí tienes qué es, cómo convertir en los dos sentidos, cómo hacer operaciones y por qué las máquinas eligieron precisamente dos dígitos y no diez.
Por qué las computadoras usan binario
No es un capricho matemático, es una limitación física convertida en ventaja.
Un circuito electrónico distingue con fiabilidad dos estados: hay corriente o no la hay, el voltaje está alto o bajo. Distinguir dos niveles es fácil y resistente al ruido eléctrico.
Distinguir diez niveles distintos de voltaje sería posible, pero cualquier interferencia mínima haría que un 6 se leyera como un 7. Con solo dos estados bien separados, el margen de error es enorme y el sistema se vuelve fiable.
Cada uno de esos dos estados es un bit (de binary digit), la unidad mínima de información. Ocho bits forman un byte.
Cómo funciona la numeración posicional
El sistema decimal que usas a diario tiene base 10: cada posición vale una potencia de 10.
El número 253 significa: 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰ = 200 + 50 + 3.
El binario funciona igual, pero con potencias de 2:
| Posición | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Esa tabla es la herramienta que resuelve casi todo. Memoriza la serie 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 y ya tienes medio trabajo hecho.
De binario a decimal
Suma los valores de las posiciones donde haya un 1.
Ejemplo: convertir 1011 a decimal
| Bit | 1 | 0 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| Valor | 8 | 4 | 2 | 1 |
Sumamos donde hay 1: 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Ejemplo: 11010110
128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 214
De decimal a binario
Hay dos métodos. Usa el que te resulte más natural.
Método 1: divisiones sucesivas entre 2
Divide entre 2 anotando el resto, hasta llegar a cero. Luego lee los restos de abajo hacia arriba.
Ejemplo: convertir 45
| División | Cociente | Resto |
|---|---|---|
| 45 ÷ 2 | 22 | 1 |
| 22 ÷ 2 | 11 | 0 |
| 11 ÷ 2 | 5 | 1 |
| 5 ÷ 2 | 2 | 1 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Leyendo los restos de abajo arriba: 101101
Comprobación: 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Correcto.
Método 2: restar potencias de 2
Más rápido cuando le coges el truco. Busca la mayor potencia de 2 que quepa y ve restando.
Ejemplo: convertir 45
- ¿Cabe 32? Sí → pongo 1, me quedan 13
- ¿Cabe 16? No → pongo 0
- ¿Cabe 8? Sí → pongo 1, me quedan 5
- ¿Cabe 4? Sí → pongo 1, me queda 1
- ¿Cabe 2? No → pongo 0
- ¿Cabe 1? Sí → pongo 1, me queda 0
Resultado: 101101. El mismo.
Operaciones en binario
Suma
Solo hay cuatro reglas:
| 0 + 0 = 0 | 0 + 1 = 1 | 1 + 0 = 1 | 1 + 1 = 10 (0 y llevo 1) |
Ejemplo: 1011 + 110
1011 (11)
+ 110 (6)
------
10001 (17)Vamos de derecha a izquierda: 1+0=1; 1+1=10, escribo 0 y llevo 1; 0+1+1(que llevaba)=10, escribo 0 y llevo 1; 1+0+1=10, escribo 10. Resultado 10001, que es 16+1 = 17. Correcto.
Resta
Reglas: 0−0=0, 1−0=1, 1−1=0, y 0−1=1 pidiendo prestado al dígito de la izquierda.
1010 (10)
- 011 (3)
------
111 (7)Multiplicación
Más simple que en decimal, porque multiplicar por 0 da 0 y por 1 deja el número igual.
101 (5)
x 11 (3)
-----
101
+ 1010
-----
1111 (15)Bytes y capacidad de almacenamiento
Con n bits se pueden representar 2ⁿ valores distintos.
| Bits | Valores posibles | Rango (sin signo) |
|---|---|---|
| 4 | 16 | 0 a 15 |
| 8 (1 byte) | 256 | 0 a 255 |
| 16 | 65.536 | 0 a 65.535 |
| 32 | 4.294.967.296 | 0 a 4.294.967.295 |
Esto explica cosas que quizá te has encontrado. Que los colores RGB vayan de 0 a 255 es porque cada canal usa un byte. Y el famoso problema de los 32 bits, que limitaba la memoria direccionable a unos 4 GB, sale de esa misma tabla.
Cómo se representan los números negativos
El binario puro no tiene signo, así que se usa el complemento a dos: se invierten todos los bits y se suma 1.
Ejemplo: representar −5 en 8 bits
- 5 en binario:
00000101 - Invertimos:
11111010 - Sumamos 1:
11111011
Con este método, el bit más a la izquierda indica el signo (0 positivo, 1 negativo) y, lo importante, la resta se convierte en suma. El procesador no necesita un circuito distinto para restar.
Relación con hexadecimal
El binario es fiable para las máquinas e incómodo para las personas: 11010110 es fácil de copiar mal. Por eso se usa el hexadecimal (base 16), donde cada dígito equivale exactamente a 4 bits.
| Binario | Hex | Decimal |
|---|---|---|
| 0000 | 0 | 0 |
| 0101 | 5 | 5 |
| 1001 | 9 | 9 |
| 1010 | A | 10 |
| 1111 | F | 15 |
Así, 11010110 se agrupa en 1101 0110 = D6. Mucho más manejable. Es la razón de que los colores en diseño web se escriban como #FF5733.
Ejercicios resueltos
1. Convierte 1100101 a decimal.
64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 101
2. Convierte 78 a binario.
64 sí (quedan 14), 32 no, 16 no, 8 sí (quedan 6), 4 sí (queda 2), 2 sí (queda 0), 1 no → 1001110
3. Suma 1101 + 1011.
13 + 11 = 24 → 11000
4. ¿Cuántos valores distintos caben en 10 bits?
2¹⁰ = 1.024
5. Convierte 10110011 a hexadecimal.
Agrupamos: 1011 0011 = B3
Preguntas frecuentes
¿Por qué 1 KB son 1.024 bytes y no 1.000?
Porque 2¹⁰ = 1.024. Los sistemas binarios trabajan en potencias de 2. Los fabricantes de discos usan 1.000, y por eso un disco de 1 TB muestra unos 931 GB.
¿Cómo se guardan las letras si todo es 0 y 1?
Mediante una tabla de codificación. En UTF-8, la letra "A" corresponde al número 65, que en binario es 01000001.
¿Y los números con decimales?
Con el estándar de coma flotante IEEE 754, que guarda el signo, un exponente y una mantisa. Por eso en muchos lenguajes 0.1 + 0.2 no da exactamente 0.3: algunos decimales no tienen representación exacta en binario.
¿Existen computadoras que no usen binario?
Hubo prototipos ternarios y hoy se investiga la computación cuántica, que usa qubits con propiedades distintas. Pero todo el hardware comercial es binario.
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